さいころをふると０になる？
1. ―――――――――――――
2003/10/24(金) 10:11:59
どの目が出る確率も一様であるさいころを振り、１、２、３の目が出ると（かけた額）×１，１がもらえ、４、５、６が出ると（かけた額）×０，９が払い戻される賭けが有る。そのような賭けををｎ（→∞）回もってる資金すべてで毎回毎回で勝負するのを繰り返すと、
ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
大数の法則を無視してるのでちょっといいかげんですけど、ｎが十分大きければこれでも機能するでしょう。
でも、一回あたりの相加平均だと期待値が、０（０，１×０，５－０，１×０，５＝０ゆえに変化しない）なので持ってる資金が１のままなんですね。
不思議です。
これってなんで？
ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
大数の法則を無視してるのでちょっといいかげんですけど、ｎが十分大きければこれでも機能するでしょう。
でも、一回あたりの相加平均だと期待値が、０（０，１×０，５－０，１×０，５＝０ゆえに変化しない）なので持ってる資金が１のままなんですね。
不思議です。
これってなんで？
2. 厨房!
2003/10/24(金) 11:11:24
億置ｼ!
3. えーと。
2003/10/24(金) 12:22:38
マルコフ性がないから。てことです。
4. つまり。
2003/10/24(金) 12:25:04
さいころの出目の順序に解が影響されるので
一回一回の平均と全体の平均は一致しないのですわ。
一回一回の平均と全体の平均は一致しないのですわ。
5. １
2003/10/24(金) 12:40:09
この試行は、一回一回独立試行になるんじゃないですか？
6. ↑
2003/10/24(金) 12:50:14
カオスの初期値鋭敏性を考えるよろし
7. 1
2003/10/24(金) 12:54:15
カオスが、前の値によるというのはわかるんですが、何でさいころをふる事象が独立しこうじゃないんですか？
8. ↑
2003/10/24(金) 13:01:03
サイコロの出目が一様であると仮定しており
さらにこの場合の賭け率の確率が同一であるから
独立試行にはならない。
さらにこの場合の賭け率の確率が同一であるから
独立試行にはならない。
9. d
2003/10/24(金) 13:01:50
ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
↑
誰かここに疑問を持たないの？
↑
誰かここに疑問を持たないの？
10. こんな問題もありますよ
2003/10/24(金) 13:03:04
コインを投げるゲームで，
最初のn回の試行では皆表で，(n+1)回目の試行では裏が出たとき，
(2^n)円の賞金を与えるものとする．(裏が出た時点でゲーム終了)
さて，このゲームで得られる賞金の期待値は?
また，このゲームの参加費用が1億円だとしたら，賭けた方が得か?
最初のn回の試行では皆表で，(n+1)回目の試行では裏が出たとき，
(2^n)円の賞金を与えるものとする．(裏が出た時点でゲーム終了)
さて，このゲームで得られる賞金の期待値は?
また，このゲームの参加費用が1億円だとしたら，賭けた方が得か?
11. ↑
2003/10/24(金) 13:07:22
独立：いくつかの試行があるとします。各々の試行の結果は他の試行の結果に影響を及ぼさないとします。このような試行は独立であるといいます。
独立試行：お互いに独立な試行を同時あるいは連続というようにひとまとまりとして行うこと。
さいころの出目の確率が、どれも同じであるから、独立試行だと思うんだが
独立試行：お互いに独立な試行を同時あるいは連続というようにひとまとまりとして行うこと。
さいころの出目の確率が、どれも同じであるから、独立試行だと思うんだが
12. ↑
2003/10/24(金) 13:12:48
だから
>各々の試行の結果は他の試行の結果に影響を及ぼさないとします。
この場合は「結果に影響を及ぼす」にで独立試行にならない。
ベイジアンモデルということ。
>各々の試行の結果は他の試行の結果に影響を及ぼさないとします。
この場合は「結果に影響を及ぼす」にで独立試行にならない。
ベイジアンモデルということ。
13. こんな問題もありますよ
2003/10/24(金) 13:21:38
１の問題は有限回試行の後の資金を計算すると，
ちょうど2項分布みたいになってくれて簡単に期待値が求まりますよ．
それによると期待値は最初の資金と一緒です．
でも，確率ってのは分布が極端になってくると期待値だけでは語れなくなるんですよね．
この場合，かなり成功している人とかなり失敗してる人との差が大きいし，
この2者の間で比べると最頻値はかなり失敗した人側によってるので，
このようなパラドックスが起きると思われます．
ちょうど2項分布みたいになってくれて簡単に期待値が求まりますよ．
それによると期待値は最初の資金と一緒です．
でも，確率ってのは分布が極端になってくると期待値だけでは語れなくなるんですよね．
この場合，かなり成功している人とかなり失敗してる人との差が大きいし，
この2者の間で比べると最頻値はかなり失敗した人側によってるので，
このようなパラドックスが起きると思われます．
14. d
2003/10/24(金) 16:04:37
何でこんな議論になってるかな…
＞ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
じゃなくて期待値は１のままだから
＞でも、一回あたりの相加平均だと期待値が、０（０，１×０，５－０，１×０，５＝０ゆえに変化しない）なので持ってる資金が１のままなんですね。
は全然おかしくないと思うのだけど
＞ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
じゃなくて期待値は１のままだから
＞でも、一回あたりの相加平均だと期待値が、０（０，１×０，５－０，１×０，５＝０ゆえに変化しない）なので持ってる資金が１のままなんですね。
は全然おかしくないと思うのだけど
15. １
2003/10/24(金) 16:16:24
独立試行じゃないとすると一回目に２が出たら、次の回に目が出る確率はおのおの６分の１じゃないということだよね。じゃあ、どういう確率の形になるのか？
２項分布を使って、全体の期待値を計算すると増分も減少分も０になるのはわかる。
ｎを無限に大きくしたときに１，２，３、が出るのがｎ/
2回。４，５、６が出るのがｎ/2回とは大数の法則や中心極限定理を入れないで近似しちゃいけないの？。
２項分布を使って、全体の期待値を計算すると増分も減少分も０になるのはわかる。
ｎを無限に大きくしたときに１，２，３、が出るのがｎ/
2回。４，５、６が出るのがｎ/2回とは大数の法則や中心極限定理を入れないで近似しちゃいけないの？。
16. 糞スレ
2003/10/24(金) 16:29:56
1は理学部
17. ↑えっ
2003/10/24(金) 16:34:57
1は受験生だろ？
18. あの～
2003/10/24(金) 16:37:22
確率×所持金の分布が一様収束しないように思うんですけど・・・
19. >>こんな問題もありますよ
2003/10/24(金) 16:42:51
確か期待値無限大に発散するんだっけ？誰々のパラドックスだっけ？ポワンカレの～だっけ。
20. こんな問題もありますよ
2003/10/24(金) 16:46:59
すいませんけど知らないです．
高校の数学の問題でこんなのが出たのを覚えていただけです．
期待値と現実が違うような一例だと思ったので挙げてみました．
高校の数学の問題でこんなのが出たのを覚えていただけです．
期待値と現実が違うような一例だと思ったので挙げてみました．
21. hoge
2003/10/25(土) 00:15:52
>1
＞ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
私もこの式がどうやったら導かれるのか知りたい。
(1/2*1.1+1/2*0.9)^n = 1^n = 1 じゃないの？
>こんな問題もありますよ
確かに期待値は発散するねえ。
∑(1/2^(n+1) * 2^n) =∑1/2 →∞
微塵の確率とはいえ膨大な金額がもらえることになるからな。
でも1/2の確率で 0 (or 1) 円しかもらえない
賭けに誰も1億円払わないよねえ。
12回続けて表が出たらいいだけなんだけどなあ。
＞ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
私もこの式がどうやったら導かれるのか知りたい。
(1/2*1.1+1/2*0.9)^n = 1^n = 1 じゃないの？
>こんな問題もありますよ
確かに期待値は発散するねえ。
∑(1/2^(n+1) * 2^n) =∑1/2 →∞
微塵の確率とはいえ膨大な金額がもらえることになるからな。
でも1/2の確率で 0 (or 1) 円しかもらえない
賭けに誰も1億円払わないよねえ。
12回続けて表が出たらいいだけなんだけどなあ。
22. 大王様
2003/10/25(土) 00:21:23
１回の期待値は、
0.9 * 1/2 + 1.1 * 1/2 = 1
ゆえにいくらやったって期待値は１のまんまじゃ！！
これしきの問題もわからん大学生はくだらんにも程がある。よって道頓堀水没獄門！！
0.9 * 1/2 + 1.1 * 1/2 = 1
ゆえにいくらやったって期待値は１のまんまじゃ！！
これしきの問題もわからん大学生はくだらんにも程がある。よって道頓堀水没獄門！！
23. こんな問題もありますよ
2003/10/25(土) 00:50:09
>hogeさん
>＞ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
>私もこの式がどうやったら導かれるのか知りたい。
多分1さんは，「一番ありがちなパターン」として，
1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→・・・
というようなのを考えたのではないでしょうか?
確かにこれだと2回の試行で0.99倍なので残り資金は0に収束します．
とはいっても，私が上に書いたように，確率分布が非常に偏ってるので，
期待値は元の資金と同じといえど，
最頻値(この場合で1さんが考えた状態)は全く違うものになっています．
>＞ｎ回目の期待値が（０，９９）＾（ｎ/２）｛→０｝となるんですね。
>私もこの式がどうやったら導かれるのか知りたい。
多分1さんは，「一番ありがちなパターン」として，
1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→・・・
というようなのを考えたのではないでしょうか?
確かにこれだと2回の試行で0.99倍なので残り資金は0に収束します．
とはいっても，私が上に書いたように，確率分布が非常に偏ってるので，
期待値は元の資金と同じといえど，
最頻値(この場合で1さんが考えた状態)は全く違うものになっています．
24. なさけな=ｄ
2003/10/25(土) 04:44:28
>ｎを無限に大きくしたときに１，２，３、が出るのがｎ/
>2回。４，５、６が出るのがｎ/2回とは大数の法則や中心極限定理を入れないで近似しちゃいけないの？。
exactな答えが簡単に出るのに悪い近似を用いるのはよくない
>「一番ありがちなパターン」
>1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→・・・
別に一番ありがちじゃないと思うんだけど
このように交互に起きるのはずっと1.1倍が続くのと同じ確率だと思うけど？
なんかすっごい京大生が情けないスレになってきたね
>2回。４，５、６が出るのがｎ/2回とは大数の法則や中心極限定理を入れないで近似しちゃいけないの？。
exactな答えが簡単に出るのに悪い近似を用いるのはよくない
>「一番ありがちなパターン」
>1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→・・・
別に一番ありがちじゃないと思うんだけど
このように交互に起きるのはずっと1.1倍が続くのと同じ確率だと思うけど？
なんかすっごい京大生が情けないスレになってきたね
25. １
2003/10/25(土) 08:18:10
>1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→1.1倍→0.9倍→・・・
交互におきるのではなくて、長期的に見たら１、２、３半分４，５，６半分に近似できるという考えのもとに（０，９９）＾（ｎ/２）
近似が荒すぎるんだろうな。
交互におきるのではなくて、長期的に見たら１、２、３半分４，５，６半分に近似できるという考えのもとに（０，９９）＾（ｎ/２）
近似が荒すぎるんだろうな。
26. アホだな
2003/10/25(土) 09:31:40
ちゃんと計算しろよ
27. RAM
2003/10/25(土) 11:38:05
初期値を１に正規化して、1.1,0.9と交互に計算を繰り返すと確かに0に収束する。しかし、それは、確率過程の問題としては間違っていると思う。期待値は、上にある通りE(x)=1なんだから、ｎ回繰り返すと1に収束する。初期値と収束値が一致するからこれはマルチンゲール。ちなみに、上になんかでてた期待値が発散するっていうのは確かサンクトペテルブルグのパラドックスっていうんじゃなかったけ？
28. なさけな=ｄ
2003/10/25(土) 12:05:28
>交互におきるのではなくて、長期的に見たら１、２、３半分４，５，６半分に近似できるという考えのもとに（０，９９）＾（ｎ/２）
>近似が荒すぎるんだろうな
荒すぎるって言うか、
それは普通は近似って言わずに間違った解答といいます。
間違った解答を正しいと思い込んでいることに気付かずにおかしいな～って…反省してくれよ
最初の方のレスも見当違いのレスばかりだし…
もまえらには
が っ か り だ よ
>近似が荒すぎるんだろうな
荒すぎるって言うか、
それは普通は近似って言わずに間違った解答といいます。
間違った解答を正しいと思い込んでいることに気付かずにおかしいな～って…反省してくれよ
最初の方のレスも見当違いのレスばかりだし…
もまえらには
が っ か り だ よ
29. い
2003/10/25(土) 12:28:29
結局独立試行うんぬんというのは、この試行は独立試行でいいか？
30. ↑
2003/10/25(土) 13:23:00
さいころを投げてどんな目が出るかまでは独立。
その結果の資金額は従属。
その結果の資金額は従属。
31. 1
2003/10/25(土) 14:39:13
32. ↑↑
2003/10/25(土) 14:47:48
・出目の結果が２通りであり、両者の確率が等しい
・前回の資金額が次回の投資額となる
の２点も考慮したほうがよい
・前回の資金額が次回の投資額となる
の２点も考慮したほうがよい
33. hoge
2003/10/25(土) 15:59:28
>こんな問題もありますよ
そうか。わかった。
つまりだ、最頻値として表と裏が同じ数だけ
出た場合を考えたんだな(交互ではない)。
その時にもらえる金額は、n回後なら確かに
0.99^n/2 だな (確率は _nC_n/2 / 2^n )。
でこれは →0 (n→0) だ。
期待値は 1 なのに最頻値の確率が 0 という
なんともおかしな状況になったのはなぜかと
いうと、こんな問題もありますよ氏の紹介の
ゲームと似ているが、微少な確率で莫大な金
額が得られる機会が山ほどあるからだ。それ
に表が一回でも多ければ増えるんだ。一方減
る側は所詮 0 でマイナスにはならないし。
ま、こんな問題もありますよ氏は初めから分かっていたみたいだが。
当然独立試行でしょ。
マルチンゲールだけど、マルコフ性もないけど
関係あるの、この議論に？
そうか。わかった。
つまりだ、最頻値として表と裏が同じ数だけ
出た場合を考えたんだな(交互ではない)。
その時にもらえる金額は、n回後なら確かに
0.99^n/2 だな (確率は _nC_n/2 / 2^n )。
でこれは →0 (n→0) だ。
期待値は 1 なのに最頻値の確率が 0 という
なんともおかしな状況になったのはなぜかと
いうと、こんな問題もありますよ氏の紹介の
ゲームと似ているが、微少な確率で莫大な金
額が得られる機会が山ほどあるからだ。それ
に表が一回でも多ければ増えるんだ。一方減
る側は所詮 0 でマイナスにはならないし。
ま、こんな問題もありますよ氏は初めから分かっていたみたいだが。
当然独立試行でしょ。
マルチンゲールだけど、マルコフ性もないけど
関係あるの、この議論に？
34. １
2003/10/25(土) 17:05:16
＞コインを投げるゲームで，
＞最初のn回の試行では皆表で，(n+1)回目の試行では裏が＞出たとき，
＞(2^n)円の賞金を与えるものとする．(裏が出た時点でゲ＞ーム終了)
＞さて，このゲームで得られる賞金の期待値は?
＞また，このゲームの参加費用が1億円だとしたら，賭けた＞方が得か?
俺が言うのであんまり信憑性がなさそうだが、ケリーの公式使うとたとえ１０００億持ってるようなやつでもやらないほうがいいと出た。
http://www.geocities.co.jp/WallStreet-Stock/7012/williams/kelly.html
＞最初のn回の試行では皆表で，(n+1)回目の試行では裏が＞出たとき，
＞(2^n)円の賞金を与えるものとする．(裏が出た時点でゲ＞ーム終了)
＞さて，このゲームで得られる賞金の期待値は?
＞また，このゲームの参加費用が1億円だとしたら，賭けた＞方が得か?
俺が言うのであんまり信憑性がなさそうだが、ケリーの公式使うとたとえ１０００億持ってるようなやつでもやらないほうがいいと出た。
http://www.geocities.co.jp/WallStreet-Stock/7012/williams/kelly.html
１以外読まずにカキコ。１回目の期待値は１だが、
２回目以降は賭け金が変わるから別の話になる。
それだけの話だろ？なんでみんな複雑そうな話をしてるの？
２回目以降は賭け金が変わるから別の話になる。
それだけの話だろ？なんでみんな複雑そうな話をしてるの？
36. ↑
2003/10/26(日) 01:36:48
お勉強のしすぎで、簡単に考えられなくなったんでしょう
37. ロックつっても
2003/10/26(日) 13:34:14
↑ぷっ。本気で言ってんの？
n回目の結果がn+1回目の施行に反映するから独立施行じゃないでしょう。
そんな考えじゃ高校数学も怪しいね。
n回目の結果がn+1回目の施行に反映するから独立施行じゃないでしょう。
そんな考えじゃ高校数学も怪しいね。
38. ↑
2003/10/26(日) 14:17:31
？？
そんなの当たり前だろ
そんなの当たり前だろ
39. 皆さん分かってらっしゃるのでしょうけど、あえてカキコミ
2003/10/26(日) 22:00:34
有限の値を取らないものは「期待値」とはよばないよね。
「期待値が無限大」とか「期待値が発散する」とか言ってる人は
そんなこと百も承知の上でそう書いてるんでしょうけど。
40. ↑
2003/10/26(日) 23:46:33
「期待値が発散する」はいいんじゃない？
上のサンクトペテルブルグのパラドックスについては、
「有限回の試行で考えた期待値が、試行の回数を無限大に飛ばすと発散する」って言う解釈になってる(はずだ)から。(故にこの場合期待値なし)
上のサンクトペテルブルグのパラドックスについては、
「有限回の試行で考えた期待値が、試行の回数を無限大に飛ばすと発散する」って言う解釈になってる(はずだ)から。(故にこの場合期待値なし)
41. （ ´,_ゝ｀）プッ
2003/10/27(月) 00:05:29
>>有限の値を取らないものは「期待値」とはよばないよね。
（ ´,_ゝ｀）プッ
低俗な釣りだね。
（ ´,_ゝ｀）プッ
低俗な釣りだね。
42. ↑おっしゃるとおりです
2003/10/27(月) 00:25:13
ただ、「期待値が発散する」はやっぱり厳密にはおかしいですけど。
（正確には「∑(確率変数×確率)が発散する、よって期待値は存在しない」ですよね）
もちろん、お互い期待値についてきちんと理解している場合には
「期待値が無限大」とか「期待値が発散する」という言い方はよく使われると思うのですが、(私も使います)
このスレにはよく分かってない(フリをしてる？)人もいるみたいなので、念の為。
（正確には「∑(確率変数×確率)が発散する、よって期待値は存在しない」ですよね）
もちろん、お互い期待値についてきちんと理解している場合には
「期待値が無限大」とか「期待値が発散する」という言い方はよく使われると思うのですが、(私も使います)
このスレにはよく分かってない(フリをしてる？)人もいるみたいなので、念の為。
43. 矢印一個ずれました
2003/10/27(月) 00:27:57
↑おっしゃるとおりです 2003/10/27(月) 00:25:13
は
↑ 2003/10/26(日) 23:46:33
へのレスです。
は
↑ 2003/10/26(日) 23:46:33
へのレスです。
44. hoge
2003/10/27(月) 18:53:53
n+1 回目の試行が n 回目(まで)の試行の結果に
従属すると言っている人たちは本気ですか？
手持ちの金額がいくらであろうと、1, 2, 3 の
目が出る確率と 4, 5, 6 の目が出る確率は等し
く 1/2 ですよ。
n 回の施行後に x 円を持っている確率でも
考えているのですか？
そりゃ確率変数が違えば独立か従属かも変わるけど…。
「(n 回目の試行後の) 期待値が (n→∞のとき) 発散する」
くらいの意味で使っていました。
従属すると言っている人たちは本気ですか？
手持ちの金額がいくらであろうと、1, 2, 3 の
目が出る確率と 4, 5, 6 の目が出る確率は等し
く 1/2 ですよ。
n 回の施行後に x 円を持っている確率でも
考えているのですか？
そりゃ確率変数が違えば独立か従属かも変わるけど…。
「(n 回目の試行後の) 期待値が (n→∞のとき) 発散する」
くらいの意味で使っていました。
45. ＞hoge
2003/10/28(火) 03:46:38
＞それに表が一回でも多ければ増えるんだ。
それは違うだろ
2n+1回の試行で、表の出る回数が裏の出る回数より一回多くて、
しかも元の所持金よりも増えるのは、１≦ｎ≦９に限られる
それは違うだろ
2n+1回の試行で、表の出る回数が裏の出る回数より一回多くて、
しかも元の所持金よりも増えるのは、１≦ｎ≦９に限られる
46. 上でも出てるが
2003/10/28(火) 08:31:43
期待値＝最頻値
ではないということ
ではないということ
47. Level
2003/10/28(火) 12:31:07
低いね
48. じゃあ
2003/10/28(火) 12:37:34
高くして
49. １
2003/10/28(火) 12:53:09
実験してみよう
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/taisuu/taisuu.htm
競馬とかで、モンテカルロ法とかマーチンゲール法やる人がいるが、不思議でたまらん。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/taisuu/taisuu.htm
競馬とかで、モンテカルロ法とかマーチンゲール法やる人がいるが、不思議でたまらん。
50. Level
2003/10/28(火) 13:47:35
いや数学的なLevelじゃなくて頭のLevelが
51. hoge
2003/10/28(火) 22:29:21
おっしゃるとおりで。
すんまそん。
すんまそん。
52. MS
2004/12/29(水) 16:17:01
最初の金額をa、1度賭けた後をaX_1、2度賭けた後をaX_1X_2、n度賭けた後をaX_1X_2…X_nとして、対数をとって考えてみましょう。
追加発言